Bunga Majemuk

Bab I

Pendahuluan

A.    Latar Belakang Masalah

Dalam matematika keuangan salah satunya itu terdapat berbagai bentuk bunga. Tapi disini akan dijelaskan mengenai apa itu bunga majemuk dalam dunia keuangan khususnya pada sistem perbankkan. Karena dalam perbankkan itu menggunakan bunga untuk menentukan beban  atau biaya yang dibebankan kepada pengguna uang dan penyimpan uang.

 

B.     Rumusan Masalah

1.      Apa pengertian tentang Bunga Majemuk?

2.      Kapan menentukan perhitungan Bunga Majemuk?

3.      Bagaimana rumus untuk menghitung Bunga Majemuk?

4.      Apa pengertian Bunga Nominal dan Bunga Efektif, dan bagaimana rumusnya?

5.      Bagaimana rumus menghitung Nilai Tunai?

6.      Bagaimana rumus menghitung Tingkat Bunga dan Jumlah Periode (Nilai Akhir)?

7.      Apa itu Continuous Compounding dan bagaimana perhitungannya?

C.    Tujuan Pembahasan

1.    Untuk mengetahui dan memahami apa yang dimaksud bunga majemuk.

2.    Untuk mengetahui dan memahami kapan perhitunga bunga majemuk.

3.    Untuk mengetahui dan memahami rumus bunga majemuk.

4.    Untuk mengetahui dan memahami pengertian bunga nominal dan bunga efektif serta rumusnya.

5.    Untuk mengetahui dan memahami bagaimana cara penghitungan nilai tunai.

6.    Untuk mengetahui dan memahami bagaimana rumus perhitungan tingkat bunga dan jumlah periode (nilai akhir).

7.    Untuk mengetahui dan memahami pengertian continuous compounding, dan rumus perhitungannya.

Bab II

Pembahasan

A.     Pengertian Bunga Majemuk

Sebelum membahas mengenai bunga majemuk perlu diingat bahwa, pada bunga tunggal principal (modal) selalu sama. Dan bunga dibayarkan pada akhir periode peminjaman.

Sedangkan pada bunga majemuk adalah bunga yang jatuh tempo ditambahkan ke modal awal pada akhir setiap compound atau periode perhitungan bunga untuk mendapatkan modal awal yang baru (modal awal ditambahkan besar bunga).

Perhitungan bunga untuk periode selanjutnya didasarkan pada modal awal baru, bukan pada modal awal, demikian selanjutnya. Perhitungan bunga yang demikian ini disebut bunga majemuk. Bunga majemuk juga bisa dikatakan bunga yang berbunga.

B.      Periode Perhitungan Bunga Majemuk

            Periode bunga majemuk adalah periode bunga dihitung untuk ditambahkan ke modal awal. Periode perhitungan tidak diharus 1 tahun, dapat dinyatakan dalam minnguan, bulanan, triwulan (3 bulan), semesteran (6 bulan), atau tahunan. Beberapa istilah yang terkait dengan masalah bunga majemuk antara lain adalah frekuensi penggabungan, periode bunga, dan banyaknya periode bunga.

·         Frekuensi Penggabungan adalah banyaknya penggabungan bunga dengan modal dalam waktu satu tahun.

·         Periode Bunga adalah lamanya waktu antara penggabungan bunga terhadap modal yang berurutan.

P          =  modal awal (principal) S          =  nilai akhir n          =  jumlah periode perhitungan bunga m         =  frekuensi perhitungan bunga dalam satu tahun

Perlu diketahui dulu bahwa untuk mempermudah perhitungan bunga majemuk, akan menggunakan notasi-notasi berikut.

jm       =  tingkat bunga nominal tahunan dengan periode perhitungan m  kali per tahun i           =  tingkat bunga per periode perhitungan bunga

 

C.     Rumus Bunga Majemuk

 

Contoh.

·         Budi menyimpan uang di bank sebesar Rp10.000.000,00 dan bank memberikan bunga 15% per bulan. Tentukan jumlah bunga yang diperoleh Budi setelah modal mengendap selama 4 tahun.

Jawab

S = P S = Rp10.000.000,00 S = Rp10.000.000,00 x 1,8153549 S = Rp18.153.549

Selama 4 tahun

P = Rp10.000.000,00

i  =  = 0,0125

n = 4 tahun x 12 = 48 bulan

·         Devi menabung di bank sebesar Rp3.000.000,00 dan bunganya sebesar 10% diperhitungkan dan dikreditkan harian. Berapa besar bunga yang dihasilkan selama tahun pertama dan tahun ke-2.

Jawab

Ø  Tahun Pertama

P = Rp3.000.000,00

i  =  =

n = 365

I = S – P = P  – P

I = Rp3.000.000,00

I = Rp3.030.150,086 – Rp3.000.000,00

I = Rp30.150,086

Jadi, tingkat bunga per periode adalah Rp30.150,086

Ø  Tahun Kedua

P = Rp3.030.150,086

i  =  =

n = 365

I = S – P = P  – P

I = Rp3.030.150,086

I = Rp3.060.603,181 – Rp3.030.150,086

I = Rp30.453,096        Jadi, tingkat bunga per periode adalah Rp30.453,096

D.     Bunga Nominal dan Bunga Efektif

            Bunga Nominal disebut juga sebagai bunga tahunan. Bunga nominal adalah bunga yang dasar bunga (%) dari bunga majemuk telah ditentukan dan bunga tersebut dapat dibungakan dalam sembarang periode waktu, misalnya tahunan, setengah tahun, seperempat tahun, bulanan, mingguan, dan bahkan harian. Tapi jika bunga nominal harus dibunga-berbungakan setengah tahun maka bunga tersebut harus dibagi dua. Dan jika bunga nominal harus dibungakan bulanan maka bunga tersebut harus dibagi 12, begitu seterusnya.

            Rumus Perhitungan Bunga Nominal, sbb :

 

Contoh

·         Seorang Investor menyetorkan uang sebesar Rp5.000.000,00 bunga dasarnya 8% dengan berbunga setiap setengah tahun selama 3 tahun. Carilah bunga majemuknya!

S = P    = Rp5.000.000    = Rp5.000.000,00 (1,265319018)    = Rp6.326.595,092 Jadi, bunga majemuknya adalah  Rp6.326.595,092

Jawab

Ø  P = Rp5.000.000,00

i = 8% = 0,08

m = 2

n x m = 3 x 2 = 6

i =  , maka 1+ atau

Bunga Efektif adalah suatu bunga yang apabila dibungakan tahunan akan menghasilkan bunga yang sama besarnya dengan bunga nominal yang dibungakan setiap tahun. Rumus Perhitungan Bunga Efektif, sbb :

Contoh

·         Hitunglah tingkat bunga efektif  yang ekuivalen dengan  dan  !

Ø       =      = 1,221335767 – 1      = 0,221335766 = 22,13%

Ø       =      = 0,10381289 = 10,38%

Jawab

E.      Menghitung Nilai Tunai (Nilai Sekarang)

            Dalam dunia perbankan dikenal juga istilah deposito, yaitu yaitu cara penyimpanan uang di bank dengan ketentuan bahwa penyimpan uang dapat diambil simpanannya pada waktu yang telah ditentukan, jika diambil pada saat belum jatuh tempo maka dikenai pinalti (denda) sesuai ketentuan yang telah disepakati.

            Ada beberapa istilah dalam deposito, besarnya uang yang disimpan pertama kali disebut nilai tunai, sedang besarnya uang pada saat pengembalian disebut nilai akhir, dan saat pengambilan disebut valuta.

            Rumus mencari Nilai Tunai (Nilai Sekarang), sbb :

P = atau P =

 

Contoh

·         Sejumlah uang didepositokan selama 3 tahun dengan suku bunga majemuk 12% pertahun. Jika pada hari valuta, uang tersebut menjadi Rp25.000.000,00. Tentukan besar uang yang telah didepositokan!

Jawab

Ø  n = 3

      = Rp25.000.000,00

i = 12% = 0,12

Jadi, uang yang telah di depositokan adalah Rp17.794.506,2.

     P =

        =

        =  = Rp17.794.506,2.

F.      Menghitung Tingkat Bunga dan Jumlah Periode (Nilai Akhir)

            Rumusnya adalah, sbb :

 

           

Contoh

·         Karyawan menabung sebesar Rp3.000.000,00. Berapa tingkat bunga yang dapat membuat sejumlah uang menjadi dua kali lipat dalam 6 tahun?

Jawab

Ø  P = Rp3.000.000,00

n = 4 x 6 = 24

Maka:                   P Rp3.000.000,00 (1+ i)24 = 2 x Rp3.000.000,00                          (1 + i)24  =                                       i =                                       i = 0,029302236                                     j4 = 4 x i                                     j4 = 4 x 0,029302236 = 0,117208944                                     j4 = 11,7%

                    

Contoh

·         Seorang Karyawan menabung sebesar Rp2.000.000,00. Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk membungakan uangnya menjadi Rp4.500.000,00 dengan j₁₂ = 12%!

Atau n = 7 tahun 10 bulan ( bunga dihitung setiap bulan)

Jawab

P = Rp2.000.000,00

S = Rp4.500.000,00

i =

G.     Continuous Compounding

            Yang dimaksud disini adalah pada bunga nomial 12% per tahun akan memberikan bunga efektif sebesar 12,68% per tahun, apabila periode perhitungannya bulanan (monthly compounding). Dan akan lebih besar lagi apabila periode perhitungan lebih pendek dari sebulan seperti dua mingguan, mingguan, atau harian.

            Jika periode perhitungan menjadi lebih pendek lagi seperti per detik, masih tetap menggunakan persamaan bunga majemuk (compound interest) biasa yaitu S = P (1 + i)ⁿ ; akan tetapi i atau r mendekati 0 (nol) dan n mendekati tak terhingga (∞).

Persamaannya akan menjadi S = Pe^it atau S = Pe^rt

                Untuk menurunkan r yang ekuivalen dengan j₁ (i) tertentu, dapat digunakan persamaan  r = ln (1 + ji) atau r = ln (1 + i).

Contoh

·         Seorang Manager perusahaan mempunyai simpanan deposito sebesar Rp20.000.000,00 dapat memberikan pendapatan bunga sebesar Rp6.600.000,00 selama 36 bulan. Hitunglah tingkat bunga nominal tahunannya:

a.       Apabila perhitungan  bunga tahunan!

b.      Continuous compounding!

Jawab

a.       Perhitungan bunga tahunan

S = Rp 26.600.000,00

P = Rp20.000.000,00

S = P (1 + i)n Rp26.600.000,00 = Rp20.000.000,00 (1 + i)3                      1,33 = (1 + i)n                            i =                            i = 0,574456 = 57,45%

t  = 3

b.      Continuous compounding

S = Rp26.600.000,00

P = Rp 20.000.000,00

t = 3

S = Pert Rp26.600.000,00 = Rp20.000.000,00 ert                         1,33 = ert                     ln 1,33 = ln ert           0,285178942 = 3r                               r = 0,095059647 = 9,506%

Maka:

Bab III

Bab III

Penutup

A.    Kesimpulan

Bunga Majemuk adalah bunga yang jatuh tempo ditambahkan ke modal awal pada akhir setiap compound.  Rumus bunga majemuk: .

Bunga nominal adalah bunga yang dasar bunga (%) dari bunga majemuk telah ditentukan dan bunga tersebut dapat dibungakan dalam sembarang periode waktu. Rumus untuk menentukan nilai nominal: .

Bunga Efektif adalah suatu bunga apabila dibungakan tahunan akan menghasilkan bunga yang sama besardengan bunga nominal yang dibungakan setiap tahun. Rumus untuk menentukan nilai efektif: .

Rumus mencari Nilai Tunai (Nilai Sekarang): P = .

Rumus menghitung Tingkat Bunga dan Jumlah Periode (Nilai Akhir):

Continuous Compounding adalah pada bunga nomial 12% per tahun akan memberikan bunga efektif sebesar 12,68% per tahun, apabila periode perhitungannya bulanan. Untuk menentukan nilai continuous Compounding adalah S = Pe^it atau S = Pe^rt.

Daftar Pustaka

Frensidy, Budi. 2006. Matematika Keuangan,edisi 2. Jakarta: Salemba Empat.

Hidayat, Wahyu. 2005. Matematika Ekonomi, edisi revisi. Malang: Universitas Muhammadiyah Malang.

Kalangi, Josep Bintang. 2006. Matematika Ekonomi dan Bisnis, buku 1. Jakarta: Salemba Empat.

Sanjoyo, Bandung Arry, dkk. 2008. Matematika Bisnis dan Manajemen, untuk SMK jilid 3. Direktorat Pembinaan Sekolah Menengah Kejuruan, Direktorat Jenderal Manajemen Pendidikan, Departemen Pendidikan: Jakarta.

Agus, Nuniek Avianti. 2008. Matematika, untuk Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) kelas XII. Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional: Jakarta.

http://ferdirn.blogspot.com/2009/03/perhitungan-bunga-majemuk.html

http://ferdirn.blogspot.com/2006/05/bilangan-72-kelipatan-bunga-majemuk.html

http://sutrisnowijaya.wordpress.com/2011/03/16/pemodelan-matematika-pada-tabungan-dengan-bunga-majemuk/