KHAITSUMA TASTAQIEM YUQODDIR LAKAlLOHU NAJAKHAN FII GHABIRIL AZMAN
Home» Matematika» Anreal Bab 3.new

Anreal Bab 3.new

Written By riyadu's blogs on Rabu, 19 Maret 2014 | 19.30

bab 3

Barisan Bilangan Real


Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun menurut ”pola” tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya barisan dan deret merupakan satu kesatuan pokok bahasan. Sekarang barisan dipahami dari sudut pandang analisis dan ia merupakan bentuk khusus dari fungsi. Pada bab ini dibahas mengenai pengertian barisan dan deret. Selanjutnya, dibahas tentang limit dan konvergensi dari suatu barisan. Di antaranya adalah Teorema Konvergen Monoton, Teorema Bolzano-Weierstrass, dan Kriteria Cauchy untuk barisan yang konvergen.

3.1.     Konvergensi Barisan


Barisan (sequence) pada himpunan S adalah suatu fungsi dengan domain ℕ dan mempunyai range dalam S. Pada subbab ini akan dibahas mengenai barisan di ℝ dan konvergensi dari suatu barisan.

Definisi 3.1.1. Barisan Bilangan Real adalah suatu fungsi dengan domain himpunan bilangan asli ℕ dengan range termuat didalam ℝ.
Jadi barisan adalah fungsi X : ℕ ® ℝ, dimana setiap n Î ℕ nilai fungsi X(n) biasa ditulis sebagai
X(n) ≔ xn
dan disebut suku ke-n barisan X. Notasi barisan yang sering digunakan adalah
X atau (xn) atau  (xn : n Î ℕ) atau áxnñ atau .
Pada buku ini akan menggunakan (xn) untuk notasi barisan.

Contoh 3.1. Beberapa barisan dan cara penulisannya.
(i).       Barisan (xn) dengan xn = n(-1)n adalah barisan X=(–1,2, –3,4, –5,6,...). Dapat juga ditulis sebagai X = (n(–1)n : n Î ℕ)
(ii).     Barisan (yn) dengan yn = 2n – 1 adalah barisan Y = (1,3,5,7, ....). Dapat juga ditulis sebagai Y = (2n – 1 : n Î ℕ)
(iii).   Barisan (zn) dengan zn =  adalah barisan Z = . Dapat juga ditulis sebagai Z = ( : n Î ℕ)
Penulisan barisan menggunakan kurung biasa ”( )” dimaksudkan untuk membedakannya dengan himpunan yang biasa ditulis menggunakan kurung kurawal ”{ }”. Pada himpunan, anggota yang sama cukup ditulis satu kali. Sedangkan pada barisan, suku-suku yang berbeda memungkinkan mempunyai nilai yang sama. Sebagai contoh ambil barisan (xn) yang didefinisikan xn = (–1)n.
Jadi barisannya adalah X = (–1, 1, –1, 1, ... ). Tetapi bila dipandang sebagai himpunan maka diperoleh himpunan X = {–1, 1}.

Selanjutnya, perhatikan kembali barisan bilangan real Y = (2n – 1 : n Î ℕ). Jika  semakin besar maka  semakin besar, tanpa batas. Tetapi, kalau kita perhatikan barisan Z = ( : n Î ℕ), maka jika  semakin besar maka zn semakin kecil, menuju angka nol. Barisan bilangan real Z ini dikatakan sebagai barisan yang konvergen atau mempunyai limit. Sedangkan barisan bilangan real  dikatakan barisan yang tidak konvergen atau divergen.

Definisi 3.1.2. (Konvergensi Barisan). Barisan bilangan real (xn) dikatakan konvergen ke x Î ℝ, jika untuk setiap  terdapat Ne Î ℕ sedemikian sehingga
untuk setiap n ≥  Ne.
Bilangan x dalam hal ini disebut sebagai limit barisan (xn), dan barisan bilangan real (xn) konvergen atau menuju ke  dapat dinyatakan sebagai
 atau   atau  atau .
Secara informal, kita dapat mengatakan bahwa xn ‘menuju x’ bila n ‘menuju tak terhingga’. Untuk setiap n Î ℕ, bilangan xn dapat dianggap sebagai hampiran untuk x (dan sebaliknya, x merupakan hampiran untuk xn). Jarak (yaitu |xn − x|) antara xn dan x menyatakan kesalahan pada penghampiran tersebut (dengan e sebagai taksiran kesalahan maksimum-nya). Definisi di atas menyatakan bahwa kesalahan tersebut dapat dibuat sekecil-kecilnya dengan memilih n cukup besar.

Jika suatu barisan (xn) tidak konvergen maka barisan (xn)  dikatakan barisan divergen.

Contoh 3.2. Tunjukkan bahwa barisan ( : n Î ℕ) konvergen ke 0.
Penyelesian. Disini kita ketahui bahwa xn =  dan x = 0.
Untuk sebarang  harus kita tunjukkan terdapat Ne Î ℕ sedemikian sehingga  untuk setiap n ≥  Ne.
Selanjutnya, lihat bahwa . Bentuk ketidaksamaan  diselesaikan diperoleh . Sehingga cukup diambil bilangan asli . Akibatnya,  untuk setiap n ≥  Ne. Yang demikian berlaku untuk setiap . Ini artinya bahwa barisan ( : n Î ℕ) konvergen ke 0 atau .
Sebagai ilustrasi, misalkan diberikan e = 0,12 maka  = 8,33. Jadi cukup diambil Ne = 9. Untuk meyakinkan dapat diperiksa untuk n ≥ Ne = 9
yang kesemuanya kurang dari e ≔ 0,12.                                                      
Contoh 3.3. Buktikan  .
Penyelesian. Disini kita mempunyai xn =  dan x = .
Untuk sebarang  harus kita temukan Ne Î ℕ sedemikian sehingga  untuk setiap n ≥  Ne.
Karena
,
diberikan , pilih Ne Î ℕ sedemikian sehingga  Ne > . Maka untuk setiap n ≥ Ne berlaku  . Ini artinya bahwa .
Sebagai ilustrasi, misalkan diberikan e = 0,012 maka  = 9,25925. Jadi diambil Ne = 10. Agar lebih meyakinkan dapat diambil beberapa nilai  untuk n ≥ Ne = 10
yang kesemuanya kurang dari e = 0,012.

Contoh 3.4. Buktikan
Penyelesian. Disini kita mempunyai xn =(  dan x = 0
Untuk sebarang  harus kita temukan Ne Î ℕ sedemikian sehingga   untuk setiap n ≥  Ne.
Selanjutnya
Diberikan sembarang,  pilih Ne Î ℕ sehingga  untuk setiap n ≥  Ne. Jadi dapat kita pilih bilangan asli  sehingga   untuk setiap n ≥  Ne.
Sebagai ilustrasi, misalkan diberikan e = 0,12 maka  = 17,36111. Jadi diambil Ne = 18. Agar lebih meyakinkan dapat diambil beberapa nilai  untuk n ≥ Ne = 18
yang kesemuanya kurang dari e = 0,12.
Contoh 3.5. Tunjukkan bahwa barisan (1 – (–1)n) divergen.
Andaikan (1 – (–1)n) konvergen, maka terdapat x Î ℝ sehingga untuk setiap e > 0 terdapat Ne Î ℕ  sedemikian sehingga |(1 – (–1)n) – x | < e untuk setiap n ≥  Ne.. Ambil e  =  > 0 maka berdasarkan Definisi  3.1.2, ada Ne Î ℕ sedemikian sehingga |xn – x | <  untuk setiap n ≥  Ne.
Kita ketahui bahwa |xn – xn+1| = 2 untuk setiap n Î ℕ.                            (i)
Tetapi dilain pihak jika n ≥  Ne, maka
|xn – xn+1 | = |(xn – x) +  (x – xn+1)|
≤  |xn – x | + |x – xn+1|
< e + e = 2 e = 2( ) = 1                              (ii)
Dari (i) dan (ii) kontradiksi, sehingga pengandaian barisan konvergen adalah salah seharusnya barisan (1 – (–1)n) adalah divergen.                                                              

Teorema 3.1.1. Limit dari suatu barisan bilangan real yang konvergen adalah tunggal.
Bukti
Andaikan barisan (xn) mempunyai dua limit yang berbeda, katakan  dan  dengan a ≠ b. Misalkan .
Karena  maka terdapat Ne(a) sedemikian hingga  untuk setiap n ≥  Ne(a) , demikian juga karena  maka terdapat Ne(b) sedemikian hingga  untuk setiap n ≥ Ne(b).
Selanjutnya jika Ne ≥ maks{Ne(a), Ne(b)}. Dengan menggunakan ketaksamaan segitiga, maka berlaku
 
Akhirnya diperoleh  suatu pernyataan yang kontradiksi. Jadi pengandaian salah haruslah a = b, yaitu limitnya tunggal.                                              ■

Definisi 3.1.3. Barisan bilangan real (xn) dikatakan terbatas jika terdapat bilangan real  sedemikan sehingga  untuk setiap n Î ℕ.
Dengan kata lain barisan áxnñ terbatas jika dan hanya jika himpunan {xn : n Î ℕ} terbatas pada ℝ.

Berkaitan dengan sifat keterbatasan barisan bilangan real tersebut kita memiliki teorema berikut ini.

Teorema 3.1.2. Setiap Barisan bilangan real yang konvergen adalah terbatas.
Bukti
Misalkan barisan bilangan real áxnñ  konvergen ke x Î ℝ. Ambil  e = 1 maka ada Ne Î ℕ sehingga |xn – x | < 1 untuk setiap n ≥  Ne. Karena  maka berdasarkan sifat nilai mutlak diperoleh  untuk setiap n ≥  Ne. Pilih
.
Maka berlaku  untuk setiap n ≥  Ne  atau dengan kata lain barisan bilangan real áxnñ  adalah barisan yang terbatas.                                                             ■   

Contoh 3.6.
(i).     Kebalikan dari Teorema 3.1.2 salah/ tidak berlaku, tetapi barisan tidak terbatas pasti divergen. Sebagai contoh, barisan (1–(-1)n) terbatas karena  untuk setiap n ≥ Ne tetapi tidak konvergen. Di sini keterbatasan merupakan ‘syarat perlu’ tetapi bukan merupakan  ‘syarat cukup’ untuk kekonvergenan.
(ii).   Barisan (n(-1)n) adalah tidak terbatas pada ℝ, dan juga tidak konvergen.

Latihan 3.1.

1.    Buktikan dengan menggunakan definisi limit barisan
a. lim
b.  lim
2.    Bultikan bahwa lime bila hanya bila lim  . Periksalah pernyataan ini untuk  .   
3.    Tuliskan arti dari lim . Tujukkan bahwa lim  untuk sembarang a Î ℝ.
4.    Jika lim  dan , tunjukan bahwa ada bilangan asli M sehingga untuk setiap
5.    Buktikan bahwa lim
6.    Buktikan bahwa lime

3.2.     Teorema Limit Barisan

Dalam contoh dan soal-soal latihan pada subbab sebelumnya, ketika e > 0 diberikan, cukup mudah bagi kita untuk mencari bilangan asli ℕ  yang memenuhi definisi barisan konvergen. Namun secara umum tidaklah selalu demikian situasinya. Pembuktian limit barisan melalui definisi akan menjadi lebih sulit bilamana bentuk barisan yang kita hadapi cukup rumit. Dalam hal ini kita perlu mempunyai cara lain untuk memeriksa kekonvergenan suatu barisan (dan menentukan limitnya) tanpa harus menggunakan definisinya.

Teorema 3.2.1. Misalkan  (xn) dan (an) adalah dua barisan bilangan real dan lim (an) = 0. Jika  ada c > 0 dan m Î R sehingga berlaku
|xn – x | ≤ c |an| untuk semua n ≥ m
maka lim (xn) = x.
Bukti.
Ambil e  > 0, maka . Karena lim (an) = 0 maka terdapat Ne/c Î ℕ sedemikian hingga untuk setiap n ≥ Ne/c berlaku |an – 0 | ≤ . Akibatnya untuk setiap n ≥ Ne/c berlaku |xn – x | ≤  c |an| ≤ c  = e atau |xn – x | ≤ e. Terbukti bahwa lim (xn) = x.                         ■

Teorema ini biasa disebut dengan Teorema Konvergen Terdominasi. Dalam penggunaan teorema ini harus dibangun barisan (an) yang konvergen ke 0 dan ditentukan konstanta positif c.

Contoh 3.7. Bila a > 0, tunjukkan bahwa .
Penyelesian. Karena a > 0 maka berlaku 0 < na < 1 + na, dan akibatnya
          untuk setiap n Î N
Selanjutnya
              untuk setiap n Î N
Dengan mengambil c =  > 0 dan an =  dan diketahui lim an = 0 maka menurut teorema 3.2.1 maka dapat disimpulkan .                                                                    

Contoh 3.8. Bila 0 < a < 1, tunjukkan bahwa
Penyelesaian. Ambil . Dapat ditulis  dan dengan ketidaksamaan Bernouli berlaku
dan diperoleh
Dengan mengambil c =  > 0 dan an =  dan diketahui lim an = 0 maka menurut teorema 3.2.1 maka dapat disimpulkan .                                                                    

Teorema 3.2.2.  Jika    dan  , maka
(i).      
(ii).    
(iii).  
(iv).    =  →  , (yn) ¹ 0, dan y ¹ 0
Bukti
(i).       Ambil sebarang . karena  maka terdapat  sedemikian hingga setiap  berlaku . Karena  , maka  terdapat sedemikian hingga untuk setiap  berlaku  . pilih , maka akibatnya untuk  berlaku
              
                                               
Karna berlaku untuk sembarang  maka   konvergen ke .
Dengan cara yang sama diperoleh bahwa  konvergen  ke . Jadi , terbukti bahwa
(ii).     Akan dibuktikan untuk setiap    terdapat  sedemikian hingga untuk setiap     berlaku  diketahui
                                          
Karena   maka    terbatas, akibatnya terdapat    sedemikian hingga  untuk semua . Namakan  Diambil sembarang  Karena  maka terdapat   sedemikian hingga  untuk setiap  berlaku  Karena  maka terdapat  sedimikan hingga untuk setiap  berlaku  Namakan  maka untuk setiap  berlaku
                                           
Jadi, terbukti bahwa untuk setiap  terdapat  sedemikian hingga untuk setiap    berlaku   Dengan kata lain, terbukti bahwa bahwa
(iii).   Bagian ini silahkan dibuktikan sendiri dengan cara membentuk
(iv).    Diketahui bahwan
           
           
           
           
Selanjutnya, kita perlu memberikan batas untuk suku . Karena  konvergen maka ada  sehingga  untuk setiap . Karena  maka diberikan  ada  sehingga
 untuk setiap .
Karena  dan  maka
 untuk setiap .
Jadi berlaku                 
 untuk setiap .
Dengan demikian kita memiliki estimasi
.     (*)
Sekarang diberikan  sembarang. Karena lim  dan lim  maka ada  sehingga
 untuk setiap dan  untuk setiap
Dengan mengambil  maka berdasarkan (*)  diperoleh
 untuk setiap                ¾                 

Contoh 3.9. Tunjukkan bahwa .
Penyelesaian. Pertama kita ubah dulu ke dalam bentuk barisan konvergen, yaitu
Selanjutnya, dengan mengunakan teorema 3.2.2 maka .

Teorema 3.2.3 Jika  barisan taknegatif, yaitu  untuk setiap  maka  ³ 0.
Bukti
Andaikan . Ambil , maka ada  sehingga
, untuk semua .
Khususnya untuk  berlaku . Hal ini kontradiksi dengan hipotesis bahwa  untuk setiap .                                                                                 ¾

Teorema 3.2.4. Jika  dan  barisan konvergen dan  untuk setiap  maka
Bukti
Didefinisikan barisan  dengan . Diperoleh  barisan taknegatif, dan selanjutnya digunakan Teorema 3.2.3 (bukti lengkapnya silahkan selesaiakan sendiri)        ¾

Teorema 3.2.5. Jika barisan konvergen dan  untuk setiap  maka .
Bukti
Bandingkan barisan  dengan barisan konstan  dan barisan  dengan barisan konstan , kemudian gunakan teorema 3.2.4.(bukti lengkapnya silahkan selesaikan sendiri).   ¾ 
              Teorema berikut menjelaskan kekonvergenan suatu barisan yang diapit oleh dua barisan yang konvergen ke limit yang sama. Teorema ini sangat bermanfaat dalam membuktikan limit barisan.

Teorema 3.2.6. (Teorema Apit). Misalkan  dan  barisan bilangan real dengan   jika
Bukti
Misalkan . Diberikan  sembarang, maka terdapat bilangan asli  dan  sehingga  untuk setiap  dan  untuk setiap
Bila diambil  maka berlaku
 dan  untuk setiap .
Dari ini diperoleh
 dan  untuk setiap .
Diketahui  dengan menambahkan –w pada ketiga ruas diperoleh
 untuk setiap ℕ.
Dengan hasil sebelumnya, diperoleh
 untuk setiap .
Jadi terbukti                                                                   ■                           

Contoh berikut ini memperlihatkan bagaimana Teorema Apit diaplikasikan untuk menentukan limit  suatu barisan.

Contoh 3.10. Tentukan limit dari barisan .
Penyelesaian. Secara langsung, mungkin kita agak susah untuk menentukan limitnya.
Perhatikan bahwa -1 ≤ cos n ≤ 1 untuk setiap n Î ℕ. Karenanya, kita bisa memperoleh
 untuk setiap n Î ℕ.
Dengan mengambil xn = , yn = , dan zn = , maka berdasarkan teorema 3.2.6. diperoleh  =  = 0.

              Satu lagi alat cepat dan mudah untuk menyelidiki kekonvergenan   barisan adalah uji rasio berikut.

Teorema 3.2.7. Misakan  barisan bilangan real positif sehingga  ada. Jika maka  konvergen dan
Bukti
Karena  positif maka  barisan tak negative sehingga  Jadi  misalkan r suatu bilangan dimana , ambil  Terdapat bilangan asli N sehingga
 untuk setiap
Jadi untuk setiap  berlaku
Dan karena  maka diperoleh
Dengan mengambil  kita mempunyai
Karena  maka  dan menggunakan Teorema 3.2.1. maka terbukti                                                                      ¾

Contoh 3.11. Selidiki apakah barisan  konvergen.
Penyelesaian. Kita gunakan uji rasio, yaitu
Jadi  dan disimpulkan barisan  konvergen dengan .

Teorema 3.2.8. Jika barisan  yang konvergen maka
(i).   Barisan nilai mutlak  konvergen dengan
(ii).  Jika  maka barisan  konvergen dengan
Bukti
Misalkan .
(i).    Kita telah mempunyai sifat nilai mutlak bahwa
 untuk semua
Jadi kekonvergenan  langsung diakibatkan oleh kekonvergenan .
(ii).  Karena a > 0 maka  > 0.  Selanjutnya dibentuk
   (*)
Karena  maka , sehingga dari (*) diperoleh
.
Karena  maka ( ) → 0, dan dengan menggunakan Teorema 3.2.1 maka terbukti lim .                                                               ¾

LATIHAN 3.2.

1.    Misalkan  dan  suatu barisan. Jika  dan  konvergen, buktikan  juga konvergen.
2.    Buktikan barisan  konvergen.
3.    Buktikan lim
4.    Hitunglah nilai limit berikut dan nyatakan secara eksplisit Teorema yang digunakan pada setiap langkahnya.            
a. lim .
b. lim .
5.    Buktikan lim
6.    Tunjukkan bahwa barisan  tidak konvergen.
7.    Diberikan barisan bilangan real positif  dengan  . Tunjukkan bahwa  tidak terbatas dan tidak konvergen.
8.    Berilah sebuah contoh barisan konvergen  dengan .

3.3.  Barisan Monoton

Barisan bilangan real yang terbatas belum tentu konvergen. Sebagai contoh, barisan bilangan real (-1)n adalah barisan yang terbatas tetapi tidak konvergen. Syarat cukup lain apa yang diperlukan sehingga barisan yang terbatas merupakan barisan yang konvergen ? Pembahasan berikut akan menjelaskannya.

Definisi 3.3.1. Diberikan barisan bilangan real X ≔ (xn).
(a)       Barisan X dikatakan naik (increasing) jika  untuk setiap .
(b)       Barisan X dikatakan naik tegas (strictly increasing) jika  untuk setiap .
(c)       Barisan X dikatakan turun (decreasing) jika  untuk setiap .
(d)       Barisan X dikatakan turun tegas (strictly decreasing) jika  untuk setiap .
Suatu barisan ( ) dikatakan monoton jika berlaku salah satu barisan ( ) naik atau barisan ( ) turun.

Contoh 3.12.
(a)       Barisan berikut ini naik (monoton).
(i)           .
(ii)          .
(iii)         jika .
(b)       Barisan berikut ini turun (monoton).
(i)           .
(ii)          .
(iii)         jika .
(c)       Barisan berikut ini tidak monoton.
(i)           .
(ii)          .
Teorema 3.3.1 (Teorema Konvergensi Monoton)
(i).    Jika (xn) naik (monoton) dan terbatas di atas, maka (xn)  konvergen dengan
(ii).  Jika (xn) turun (monoton) dan terbatas di bawah, maka (xn) konvergen dengan
Bukti
(i).    Karena (xn) terbatas diatas, maka terdapat M  sedemikian hingga  M untuk semua . Misalkan A , maka A , terbatas di atas dan tidak kosong. Menurut Sifat Lengkap , maka supremum A ada, misalkan .
Akan ditunjukkan
Diberikan    sembarang, maka x - e bukan batas atas A. Karenanya terdapat  sedemikian hingga . Karena (xn) naik, maka untuk setiap  berlaku
atau
Jadi, terbukti bahwa (xn) konvergen ke x atau
(ii).  Gunakan cara yang hampir sama dengan pembuktian (i).
Contoh 3.12. Selidiki apakah barisan (xn) yang didefiniskan oleh
Konvergen atau divergen.
Penyelesaian. Disini jelas bahwa (xn) naik sebab
 untuk setiap .
Selanjutnya dibuktikan apakah barisan ini terbatas atau tidak.
Untuk melihat pola barisan ini secara numerik dapat kita lihat tabel berikut:
Terlihat bahwa kenaikannya sangat lambat sehingga erdasarkan data ini “seolah-olah” suku-suku barisan ini akan menuju bilangan atau konvergen.
Selanjutnya, untuk tiap  kita mempunyai
Akibatnya, untuk tiap  berlaku:
Jadi  (xn) terbatas diatas. Menurut Teorema 3.3.1. (xn) Kovergen ( ke suatu L ≤ 2).
Contoh 3.12. Misalkan (xn)  barisan yang didefinisikan secara rekursif sebagai berikut:
 untuk n ≥ 1.
Selidikilah kekonvergenan barisan ini. Bila ia knvergen berapakah limitnya.
Penyelesaian. Diperhatikan  dan . Jadi . Secara intuitif, barisan ini monoton naik dan terbatas di atas oleh 2. Untuk menunjukkan klaim ini kita  gunakan prinsip induksi matematika, yaitu menunjukkan bahwa berlaku
.
Kita baru saja membuktikan pernyataan ini berlaku untuk n = 1. Diasumsikan berlaku untuk n = k, yaitu kita mempunyai . Akibatnya, . Untuk n = k + 1, diperoleh
.
Jadi berlaku
, yaitu berlaku untuk n = k + 1.
Dengan demikian terbukti bahwa barisan ini monoton naik dan terbatas. Berdasarkan Teorema 3.3.1 barisan ini konvergen. Selanjutnya dihitung limitnya. Bila supremum himpunan { } mudah dicari maka limitnya langung didapat, yaitu lim ( ) = sup { }. Berdasarkan hasil perhitungan numeris 10 suku pertama barisan ini adalah
Terlihat supremumnya adalah 2. Secara teoritis masih harus dibuktikan bahwa 2 benar-benar supremumnya.
Dengan mengamati bahwa untuk limit ini menghasilkan bentuk akar kontinu berikut,
lim ( ) = .
Misalkan x =  maka diperoleh
 atau x = 2
Karena xn > 1 maka nilai yang memnuhi adalah x = 2, jadi lim ( ) = 2.

LATIHAN 3.3.

1.    Misalkan  dan  untuk  Buktikan bahwa  konvergen dan hitunglah limitnya.
2.    Misalkan  dan  untuk  Selidikilah kekonfergenan  Bila ia konvergen,   berapa limitnya.
3.    Selidikilah kekonvergenan barisan  yang didefinisikan oleh
4.    Misalkan  .     Buktikan bahwa  naik dan terbatas (di atas)  untuk tiap
5.    Misalkan   Buktikan bahwa  naik. Apakah  terbatas (di atas)?

Blog, Updated at: 19.30
riyadu's blogs di 19.30

0 komentar:

Posting Komentar

Guna Pengembangan Blog ini admin mohon komentarnya_terimakasih.